从算术几何视域理解中华文明的思维模式

山东师范大学教授         ○  傅海伦

中国传统数学是指中国历史上长期形成的，独具特色的，富有自身传统的数学。在公元前 1 世纪至公元 14 世纪初，长达1500 年的时间内，中国传统数学虽有高潮、低潮，却一直走在世界的前列，在众多的领域内保持世界领先水平。

中国数学与西方数学各自独立发展而又相互影响，风格独特，自成体系，影响深远，在世界数学史上占有极为重要的地位。数学在中国古代是最发达的基础学科之一，出现了《九章算术》及其刘徽注、《缀术》《数书九章》《测圆海镜》《四元玉鉴》等一系列辉煌杰作，造就了刘徽、祖冲之、贾宪、秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰等一批堪与欧几里得、阿基米德、丢番图、阿尔·卡西相比的数学家，取得了具有世界意义的重大成就。

在我国古代，数学称为算术，实则包括了今天初等数学中的算术、代数、几何和三角等多方面的内容。算术，就是用以处理实际问题的计算方法，这反映出中国古代数学以研究算法为中心的特点。中国的算术思维得益于中国的算筹文化，依据十进位值制与位置思维，这是中国数学的根基。与注重逻辑推理的风格和追求演绎证明的目标有明显差异的是，中国筹算关心问题的解答，注重的是运用分离系数法进行筹式的构造与排列，它追求算法的快速、准确无误和简明，并把自身的构造性和机械化的特点和优势发挥到最大限度。中国古代数学的筹算文化，决定了它不可能形成如同欧几里得《几何原本》那样完整的演绎逻辑系统。

中国以“术”设题，每个问题都给出答案，并研究有关的算法系统，形成了中国传统数学独具特色的构造性与机械化的主要特色。一方面，筹算本身的直觉启示、模型构造性特点以及特殊的运演排列的结构和形式，决定了中国古代数学是将大量生活实际中的问题进行模型化方法的转化，概括出一般原理、原则用以解决一大类问题的从具体形象到归纳与化归相结合的有机统一。例如，“盈不足”模型、“方程”模型、“贾宪三角”模型等，都堪称经典。另一方面，受“经世致用”的传统价值观的影响，注重实际应用是中国数学的一个显著特点。它的内容几乎都是来自于社会生产、生活的实践，数学著述的目的就是为了解决这些实际问题。《九章算术》共收有 246 个数学问题，共分为九大部分。每一部分都是按照当时社会实践所需要解决的问题来分类的，后面的著作大都沿袭该体例，该著作成为模式和样板。

中国几何学的发达首先得益于中国的测量技术。《墨经》注重抽象性和思辨性，以逻辑学作为其论说的工具。《墨经》中逻辑思想十分丰富，其中有大量的几何概念和定义方式，其思想观念之深刻，堪称典范。儒家经典之首——《周易》有其独特的宇宙变换模式和二元变换系统，其中包含数学思维逻辑——“象数学”与位置模式。随着近代组合数学的发展，纵横图显示了越来越强大的生命力，在图论、组合分析、对策论、计算机科学领域中都具有用武之地。

“形数结合”也成为中国的方向位置化思维的表达形式。从位置化数学的角度去思维，李冶的“天元”术——最早的位置符号代数，不拘泥于西方符号化数学的观点。而从数学思维方式上分析，朱世杰四元式的筹算布列，又是有向化方法的具体运用。可以说，方向、位置思维方法在中国古算中是很突出的。金元时期中算家发明的天元符号、创立的“天元术”并在此基础上发展的“四元术”，使这种用方向、位置表达未知数的方法，成为当时多元高次方程（组）及其解法高度发达的一个重要原因，这在当时确实是一项了不起的成就。

当前，中国传统数学文化的教育，迎来新的机遇和挑战。传统优秀数学文化进课程、进教材、进课堂，势在必行；数学文化教育资源的开发、拓展、应用与教学设计，将成为广大数学教师新的教学生长点和着力点，也必将打开新的局面。