孙博：数学史视角下《三角形面积》教学实践与思考

   作者：孙博 （北京市海淀区中关村第一小学）

T（迁移）目标：掌握平面图形面积的研究方法，能将探索面积公式的基本思路运用到新图形面积公式的探究中。

U（理解）目标：基于面积单位的累加掌握面积度量的方法，能利用图形的转化由已有面积公式推理产生新的图形面积公式。

K（知能）目标：掌握平行四边形、三角形、梯形三个图形的面积公式，会计算面积并能解决生活中的简单实际问题。

E（情感）目标：体会探索面积公式的意义与价值，感受数学传统文化的魅力，培养运用已有知识方法、解决新问题的思维习惯，树立民族文化自信。

（一）《三角形面积》教学目标

（1）结合数学发展历史，经历三角形面积猜想与验证的探究活动，发现图形中的核心要素，运用倍拼法、割补法等转化方法探索三角形面积的度量方法，积累探索图形面积的活动经验。

（2）理解面积度量的本质，通过寻找转化前后图形要素间的联系推导获得三角形面积公式。

（3）发展推理意识、度量意识与空间观念，培养运用已有知识、方法解决新问题的思维习惯。

（二）《三角形面积》教学重难点

（1）教学重点：掌握三角形面积计算公式，能正确进行三角形面积的计算。

（2）教学难点：在探索活动中猜想三角形的面积并加以验证，体会割补法在图形转化推理中的应用。

（三）《三角形面积》教学实践与思考

（1）以史为镜，追本溯源

上课伊始，教师借助课件介绍中国古代数学取得的辉煌成就，历代数学家留下了珍贵的数学典籍。《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书共九章，收录了246个与生产、生活相关的实际问题，并给出了每个问题的解法，也就是“术”，数学家刘徽为《九章算术》所作的注释流传至今。《九章算术》第一章《方田章》主要讲述了土地面积的计算方法，研究了长方形、三角形、梯形、圆等田地的面积，并总结出了这些平面图形的面积计算之术。其中方田就是长方形田地，方田术曰：广从相乘得积步。广相当于长方形的长，从相当于长方形的宽。

师：古人研究了长方形、三角形、梯形、圆这些平面图形，你有什么发现？

生：古人怎么没有研究我们学过的平行四边形呢？

师：由于中国古代数学没有建立起平行与角的概念，所以这里没有平行四边形，但这并不影响中国古代数学发展出平面图形面积的计算理论。同学们还记得我们是怎么推导出平行四边形面积公式的吗？

生：把平行四边形通过割补转化成长方形，长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的高，长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。

师：通过割补法转化成长方形，寻找图形要素间的联系，我们推导出了平行四边形的面积公式。看来无论古代还是现代，长方形的面积很重要。掌握了长方形和平行四边形的面积公式，同学们今天想研究哪个图形的面积？

生：三角形。

师：三角形田地在古代称为圭田，古人的圭田术记载了怎样的计算方法？今天我们就一起来探究三角形面积的计算方法。

【设计意图】教育家夸美纽斯说过，一个人的学习愿望决定着学习效果，激活学习需求对于提升课堂学习效率至关重要。这个活动将学生带入到中国古代面积计算的历史中，通过引入公元1世纪的数学著作《九章算术》计算田地面积的史料，依托数学史唤醒学生已有的面积探究经验，感悟长方形面积公式的基础性地位。顺应学生探究意愿，自然引出研究三角形面积的学习任务，同时铺垫两条学习线索：一是迁移 “转化图形—寻找关系—推导公式” 的面积探究思路；二是从数学史视角探寻中国古代三角形面积计算之术，感受传统数学文化。

（2）制定研究方案，思考研究方法

课前通过与学生交流，教师了解到：部分学生已经知晓三角形面积公式，还有部分学生尚不了解。由此，教师提出问题：如果你已经知道三角形面积公式，打算如何验证？如果还不知道公式，你准备怎样开展研究？

生：我想借助方格纸画一画，看看对于三角形面积能有什么发现。

生：我需要三角形纸片，可以拼一拼、剪一剪、摆一摆，尝试把三角形变形转化。

师：有了纸片和方格纸，如果我们只研究一个三角形的面积，可行吗？

生：应该研究不同种类的三角形，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都要研究，这样得到的面积公式才具有普适性，适用于各类三角形。

师：你们打算先研究哪种三角形的面积？

生：直角三角形，因为它有直角更特殊更方便研究。

师：你们真的是在用数学的思维思考，很多数学家也是从直角三角形入手开展研究，这正是数学研究常用的思想方法——从特殊到一般。

【设计意图】以问题驱动深度思考，引导学生迁移已有学习经验，自主规划解决问题的步骤；启发学生制定研究方案，选取研究工具与材料，明晰从特殊到一般的探究思路。链接学生思考的问题与教学关键问题，积累探究图形面积的数学活动经验，在自主规划学习路径的过程中学会如何学习，提升思维品质。

（3）自主探究，合作交流

1）独立思考，自主探究

教师为每位学生准备两个信封：1号信封内含锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三种三角形纸片；2 号信封内为方格纸。学生结合自己设想的研究思路，自主选择其中一个信封，依据学习单上的探究任务，自主探究三角形面积公式。

自主探究活动要求：

①摆一摆、剪一剪、画一画：思考三角形可以转化成哪些图形，可利用纸片操作，也可在方格纸上画图分析。

②找一找：转化后的图形与原三角形之间存在怎样的关系？

③写一写：尝试写出推导三角形面积公式的过程。

2）小组讨论，合作交流

学生独立思考后开展小组合作交流。为提升交流的有效性与针对性，教师将选用同种研究材料的学生，每3人重组为新小组开展研讨。每组推选一份研究成果。小组交流围绕以下三点展开：

①结合摆、剪、画的操作，和同伴交流三角形的转化过程。

②交流转化后的图形与原三角形之间的关系。

③交流三角形面积公式的推导思路。

【设计意图】提供可供自主选择的学习材料，设计高效的小组合作组织形式，给予学生充足的时间与空间独立思考、互动交流，为已有经验方法的迁移与多元探究方法的生成创设条件。

3）转化推理，全班汇报

①探究直角三角形的面积

方法一：倍拼法

倍拼成长方形              倍拼成平行四边形

有的学生将两个完全相同的直角三角形拼成一个长方形，也有学生拼成平行四边形。学生发现三角形面积是长方形或平行四边形面积的一半，教师进而引导学生思考转化前后图形要素间的对应关系，明确三角形的底是长方形的长或平行四边形的底，三角形的高是长方形的宽或平行四边形的高。根据长方形面积=长×宽与平行四边形面积=底×高，学生推导出三角形面积=底×高÷2。

方法二：割补法

有的学生从三角形高的中点沿水平方向分割，把上方的小三角形补到右下方，补成一个长方形，发现长方形的长是三角形的底，长方形的宽是三角形高的一半；有的学生也从三角形高的中点沿水平方向分割，把上方的小三角形补到左下方，转化成一个平行四边形，发现平行四边形的底是三角形的底，平行四边形的高是三角形高的一半；还有的学生从三角形底的中点沿竖直方向分割，把右边的小三角形补到上边，补成一个长方形，发现长方形的长是三角形的高，长方形的宽是三角形底的一半。借助割补转化，求三角形面积转化为求长方形的面积或平行四边形的面积，根据长方形面积=长×宽与平行四边形的面积=底×高，推导出三角形面积=底×（高÷2）或（底÷2）×高

②探究一般三角形的面积

在探究锐角三角形和钝角三角形的面积公式时，学生迁移直角三角形面积的研究经验，同样运用倍拼法和割补法进行转化推导，得到锐角三角形和钝角三角形的面积公式也是底×高÷2、底×（高÷2）或（底÷2）×高。适当调整公式中的运算顺序，学生发现直角三角形、锐角三角形和钝角三角形的面积计算公式都可以统一成三角形面积=底×高÷2,这样就得到了三角形面积计算的通用公式是S=ah÷2。

【设计意图】经历猜想、操作、验证、归纳三角形面积公式的探究全过程，学生从探索特殊的直角三角形走向一般的锐角三角形与钝角三角形。运用倍拼法、割补法对图形进行转化，经历转化图形——寻找新旧图形之间联系——推导公式的探究过程，积累探索图形面积的活动经验，丰富转化的策略。突破割补转化的思维难点，养成迁移已有知识、方法解决新问题的思维习惯，发展推理意识与空间观念。

（4）古今贯通，重构方法

回顾三角形面积的探究过程，教师先引导学生分析倍拼法中的图形关系：三角形与倍拼得到的平行四边形等底等高，三角形面积是该平行四边形面积的一半。教师予以肯定：同学们的思路和古代数学家不谋而合。2300多年前，古希腊数学家欧几里得就得出结论：“三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。”

接着，教师结合中国古代数学家的探索研究进一步追问设疑，激发学生的好奇心：那中国古代的圭田术又是什么样的呢？圭田术曰：半广以乘正从。魏晋布衣数学家刘徽，在劳作之余潜心钻研，于《九章算术注》中对圭田术作出解读：“半广者，以盈补虚，为直田也。”你能看懂两千年前刘徽的方法吗？先独立思考，再小组交流。

生：刘徽将三角形沿着两边的中点分别割出两部分，再以盈补虚成一个长方形，将三角形面积转化为长方形面积。长方形的宽是三角形底的一半，就是半广，长方形的长是三角形的高，就是从。三角形面积等于长方形面积，长方形面积=长×宽，所以三角形面积=半广×正从。

生：原来我们今天探究出的三角形面积公式=底×高÷2与古人的圭田术半广乘正从只是表述的形式不一样，意思是一样的。

师：正是如此。我国古代先人富有智慧、勤于探究，他们的钻研精神值得我们每个人学习。从刘徽的方法中，后人概括出“出入相补”原理：一个平面图形从一处移置它处，面积不变；若将图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。历代中国古代数学家孜孜不倦地为《九章算术》作注解读，让这部古老典籍持续焕发智慧光彩。时至今日，当代学者仍不断从《九章算术》汲取数学思想精粹并加以应用，产出丰硕的研究成果。我们今天探究三角形面积公式、解读刘徽“以盈补虚”的过程，正是对中华传统数学文化的继承与弘扬。希望同学们都能成为中华传统数学文化的传播小使者。

【设计意图】依托刘徽应用“出入相补”原理注释《九章算术》圭田术与欧几里得《几何原本》中的公理化命题的数学史料，通过古今对照与中西对比，结合“出入相补”原理引导学生感悟面积计算的本质，丰富转化的策略，加深对三角形面积计算公式内涵的理解，发展推理意识与空间观念。体会中外数学家，尤其是我国古代数学家孜孜不倦的科学探究精神，感受中华传统数学文化的价值与魅力，建立民族文化自信。

经过《三角形面积》一课多轮教学实践与反思，我认识到：数学史能够还原数学概念、方法产生发展过程中人类经历的认知困境，展现数学家如何突破难点，形成数学结论。这有助于教师反观学生的学习过程，形成对学生学习活动的理性认知，以平和心态看待学生学习中遇到的困难与出现的错误。

融入数学史，旨在构建高效数学课堂。史料引入的时机要自然恰当，不应停留在蜻蜓点水式的浅层介绍，而要打通古今方法之间的内在关联，依托数学史蕴含的思想智慧，帮助学生突破学习难点与易错点。我们当以史为镜，引导学生在数学概念的再创造过程中借鉴思维方法、获得智慧启迪，触摸数学知识本质，促进数学思维生长；在拓宽视野、增长见识的同时，切实服务于课堂学习，落实数学核心素养。